X
تبلیغات
پیکوفایل
رایتل
آشنایی با مفاهیم : ” انتزاع” ، ” تعریف و قرارداد” در ریاضی - مهندس برتر
آموزش نیاز های ((اصلی و فرعی)) مهندس مکانیک
آشنایی با مفاهیم : ” انتزاع” ، ” تعریف و قرارداد” در ریاضی
شنبه 1 آبان‌ماه سال 1389 ساعت 21:07 | نوشته شده به دست ایمان سودمند

  

۱ .  

زمانی ، در دوره های نخستین شکل گیری مفهوم عدد ، برای نام بردن سه درخت و سه گوسفند ، از دو واژه ی مختلف استفاده می کردند و وقتی می خواستند از سه مرد صحبت کنند ، واژه ی سومی را به کار می بردند و این ، امری طبیعی بود : درخت به گوسفند و هیچ کدام از آن ها به مرد شباهتی نداشت .
بسیار طول کشید تا بشر توانست وجه مشترکی بین « سه درخت » ، « سه گوسفند » و « سه مرد» پیدا کند و متوجه شود که در هر سه حالت با «تعدادی» برابر سر و کار دارد . ولی وقتی این درک - یعنی درک ” مقدار” و ” کمیت ” – به وجود آمد و بشر به مفهوم «سه» (بدون این که آن را وابسته به چیز مشخصی مثل « درخت » یا « نیزه» بکند) پی برد ، نخستین گام را در جهت ” انتزاع” برداشت .

علم ، بررسی های علمی و ذهن علمی ، بدون انتزاع ممکن نیست . علم ، در همان حال که روی پدیده ها و فرآیندهای مادی کار می کند و طبیعت ( و هم جامعه ) آزمایشگاه بزرگ آن است ، برای پی بردن به قانون های حاکم بر طبیعت ( و جامعه ) چاره ای جز انتزاع ندارد.
« درخت سیب » یا « درخت سپیدار » در طبیعت وجود دارند. ولی وقتی به طور کلی از « درخت » صحبت می کنیم ، در واقع ویژگی مشترک بسیاری از روییدنی ها را در نظر گرفته ایم و به یک انتزاع دست زده ایم .
« رنگ زرد» یا « رنگ سبز» را می توان در طبیعت مشاهده کرد ، ولی وقتی به طور کلی از واژه ی «رنگ» نام می بریم ، به چنان ویژگی توجه داریم که در همه ی رنگ های موجود و قابل مشاهده ، مشترک است .
« کمیت » ، « مقدار» ، « اندازه» و « تعداد» ، بیان های مختلفی از یک نوع ویژگی هستند که در مورد هر جسم مادی و بسیاری از فرآیندهای مادی می تواند به کار رود .
وقتی از حجم کره ی زمین ، میزان محصول سالیانه ی فلان کشت زار ، سرعت حرکت مریخ به دور خورشید ، مقدار برق لازم برای حرکت قطار زیر زمینی و غیر آن صحبت می کنیم ، با همین ویژگی سر و کار داریم .
انتزاع ، در تحلیل آخر ، نه به معنای جدا شدن از طبیعت ، بلکه برای شناخت دقیق تر و کامل تر قانون های حاکم بر طبیعت است.
ریاضیات ، به طور عمده ، از راه انتزاع های متوالی ، به بررسی دو مفهوم « کمیت » و «شکل» جسم های مادی می پردازد .
در این جا ، وقتی از کره صحبت می شود ، بدون توجه به رنگ و جرم و دوام و وزن و دیگر ویژگی های جسم ، تمامی دقت روی شکل آن ( کروی بودن ) متمرکز می شود و قانون مندی هایی که از این جهت ، در آن وجود دارد ، مورد بررسی قرار می گیرد .
۲.  

وقتی می نویسیم ۵=۳+۲ ، هم با انتزاع سر و کار داریم و هم با قرارداد . از آن جا که نگفته ایم چه چیزهایی را با هم جمع کرده ایم ، یک انتزاع انجام داده ایم ، در اینجا با یک ویژگی کلی سر و کار داریم : از کنار هم گذاشتن « دو مداد» با « سه مداد» ، « پنج مداد»به دست می آید ، همان طور که اگر « سه کیلومتر» راه را بعد از « دو کیلومتر » قبلی طی کنید ، روی هم « پنج کیلومتر» راه رفته اید .
ولی نشانه های « ۲ » ، « ۳ » ، « ۵ » ، « + » و « = » ، نشانه های قراردادی هستند . این که چرا نشانه ی « = » برای بیان” برابری” به کار می رود ، به ریاضیات مربوط نیست !!! در این مورد باید به پژوهشی تاریخی دست زد و روشن کرد که چه « دلیل هایی » سرانجام به اینجا رسیده است که در بین همه ی ملت های جهان ، آن را به مفهوم «برابری » بگیرند .
« = » یک نماد است ، نمادی برای بیان : برابری . همانطور که « ۵ » هم یک نماد است ، نمادی برای بیان عدد ” پنج ” .
برای مطالعه ی ریاضیات ، باید نمادها ( یا قراردادها) را شناخت . شما تنها وقتی می توانید با نماد f(x) کار کنید که معنا و تعریف ان را بدانید .
a۲ نمادی است و a۲> نمادی دیگر و  طبیعی است ، اگر «تعریف» و معنای آن ها را ندانید ، نمی توانید عمل های ریاضی را با آن ها انجام دهید .

یادداشت ۱ :

یادآوری این مطلب ضروری است که : در بسیاری موردها ، ریاضیات نمی تواند بدون توجه به سایر ویژگی های ماده ( یعنی بدون توجه به ویژگی هایی از ماده ، که در دانش های دیگر مورد مطالعه قرار می گیرند ) ، حکم های جزمی خود را در همه ی زمینه ها سازگار کند .
ریاضی دان می گوید ۲۰ = ۱۰+۱۰ ، ولی شیمی دان در عمل مشاهده می کند که از روی هم ریختن ۱۰ لیتر آب با ۱۰ لیتر الکل ، نه ۲۰ لیتر ، بلکه ۱۹ لیتر « آب و الکل » به دست می آید . در این جا ، اگر به حجم واقعی محلول نظر داشته باشیم ، باید با توجه به ویژگی های شیمیایی اب و الکل بگوییم : ۱۹ = ۱۰ + ۱۰ .
در ریاضیات مقدماتی ، بدون هیچ تردیدی حکم می کنیم ۲ = ۱ + ۱ . ولی اگر منظور از این «جمع» محاسبه ی نتیجه ی عمل های دو نیروی یک کیلوگرمی باشند که به طور عمود بر هم بر جسمی اثر می کنند ، آن وقت ، نیروی « مجموع» ( منظور برآیند نیروها یا منتجه است ) ، به جای ۲ کیلوگرم برابر ۴/۱ کیلوگرم می شود .
ریاضی دان ، در همان حال که با نیروی انتزاع و با یاری گرفتن از نیروی قانون های درونی ریاضیات ، جلو می رود و « حقیقت هایی» را کشف می کند ، باید دایما به جهان واقع ، به طبیعت و جامعه ، مراجعه کند و هر جا لازم باشد ، نتیجه گیری های خود را با « واقعیت های موجود » تطبیق دهد .

یادداشت ۲ :

ذهن آدمی چنان است که بدون دستگیره ی مادی نمی تواند درباره ی چیزی بیندیشد و کار کند و ، به همین مناسبت ، هر وقت که انتزاعی انجام می گیرد ، در واقع ، دستگیره ای مادی جانشین دستگیره ی مادی دیگر می شود. وقتی با کسی که عدد نویسی نمی داند ، از سیصد و هفتاد و دو درخت صحبت کنیم ، تصور مبهمی از انبوهی درخت در ذهن او به وجود می آید ، ولی برای کسی که عدد نویسی را می داند ، رقم های « ۳ » ، « ۷ » و «۲ » در ذهن او ظاهر می شوند و ، بدون این که به مقدار واقعی ۳۷۲ درخت توجه کند ، نماد ۳۷۲ در ذهن او مجسم می شود . در این جا ، نماد نوشتنی ۳۷۲ ، همان دستگیره ی مادی است که جانشین « درخت ها » شده است .
۳.

 برای تعریف ، از هیچ نمی توان آغاز کرد . هر تعریفی به ناچار باید بر پایه ی تعریف های ساده تری استوار باشد . مثلا شما نمی توانید ، عمل « جمع » را تعریف کنید . بیان هایی از نوع « افزودن دو عدد به یکدیگر » ، در واقع ، یک دور باطل است . زیرا کاری نکرده اید جز این که به جای واژه ی « جمع» از واژه ی معادل « افزودن» استفاده کرده اید . به این ترتیب ، چاره ای نداریم جز اینکه « عمل جمع» را به همان صورتی که «حس» می کنیم و کم و بیش همه ی ما درباره ی آن « تصوری» داریم ، بپذیریم. هر تلاشی برای تعریف « عمل جمع » سر آخر ، منجر به این می شود که بگوییم ” جمع یعنی جمع ” !!!
ولی ، وقتی که « عمل جمع» را ، بدون تعریف ، بپذیریم ، دیگر می توانیم عمل های « تفریق» و «ضرب» را به کمک آن تعریف کنیم :
a - b = c ، یعنی اگر b را با c جمع کنیم a بدست می آید .
a * b = c ، یعنی اگر b را a مرتبه با خودش جمع کنیم ، عدد c حاصل شود .

چاپ این مطلب: کلیک کنید

(0 لایک)
نظرات (2)
دوشنبه 3 آبان‌ماه سال 1389 ساعت 13:04
سلام!پست های خوبی ارائه میدید!موفق باشید!
امتیاز: 0 0
یکشنبه 2 آبان‌ماه سال 1389 ساعت 10:36
سلام آقا ایمان گل چطوری داداش چمران خوش میگذره؟
آمارت رو از بچه ها میگیرم میگن داری میترکونی؟ ایول!
پست جالبی بود.ممنون
به یادمان باشید به یادتان هستیم
پاسخ:
سلام امیر جان.چه عجب از این ورا؟
اینا همش نشر اکاذیبه.جلال زیاد حرف میزنه.
ما هم که همیشه به یاد شما هستیم.
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)
نام :
پست الکترونیک :
وب/وبلاگ :
ایمیل شما بعد از ثبت نمایش داده نخواهد شد
 
تقویم
اردیبهشت 1395
شیدسچپج
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
آمار
بازدیدکنندگان : 739983