یادداشتی در باب مقاومت مصالح

مباحث مرتبط با مکانیک جامدات یا مکانیک مصالح که در ایران اغلب با نام مقاومت مصالح از آن یاد می شود شاخه ای از علم مکانیک است که با استفاده از روشهای تحلیلی به بررسی و تعیین مقاومت و صلبیت و نیز پایداری ارتجاعی اعضای باربر می پردازد....

(شرح دیدگاههای دکتر مسعود دهقانی در مبحث مکانیک مصالح) 

مبحث مقاومت مصالح که اصالتاً در حیطه مسائل مهندسی مطرح می گردد مانند علم تئوری ارتجاعی(theory of elasticity)  و تئوری خمیری (theory of plasticity) رفتار اجسام را با نگرش صرفاً ریاضی و با چنان دقتی تحلیل نمیکند. مکانیک جامدات در سطحی که در دانشکده های فنی و مهندسی تدریس می گردد بنام مکانیک جامدات مهندسی (technical mechanics of solids) شهرت دارد و اساساً بر پایه شرح رفتار یک عضو تحت ﺗﺄثیر بار, مقاومت داخلی و تغییر شکل آن قرار دارد. علم مکانیک جامدات موضوع بسیار گسترده ای است که با گذشت زمان, بر درک و تشریح مسائل و نیز بر دامنه آن افزوده می شود و نگرشهای نوینی در این زمینه طرح میگردند. مباحث مطروحه در کتابهای فلسفه علوم و مهندسی ﺗﺄلیف دکتر مسعود دهقانی از جمله این رویکردهای نوین در مبحث مکانیک مصالح است. بخشهایی از این کتاب به توضیح و تبیین ماهیت تنش (stress) در سازه ها اختصاص دارد. نیروهایی که درداخل یک عضو ایجاد می گردند(internal forces) تا اثر نیروهای خارجی را متعادل کنند کمیتهایی برداری هستند. در مقاومت مصالح تنش بصورت شدت گسترش نیرو بر روی سطوح تعریف میگردد.

 

 

همچنین محاسبه تنش در یک نقطه با این فرض صورت می گیرد که جسم یک محیط پیوسته و مصالح آن همگن  (homogeneous)باشند. در غیر اینصورت به لحاظ اتمی ابهاماتی به وجود خواهد آمد. با التفات به برداری بودن ﺗﺄثیر نیروهای داخلی عمومی ترین حالت تنشهایی که بر روی سطح عمل می کنند نمایش تانسوری تنش (stress tensor) است .]ر.ک به کتاب مقاومت مصالح ایگور پوپوف/ ترجمه شاپور طاحونی[

 

 

 

 

دیدگاههای مطرح شده توسط دکتر مسعود دهقانی در ابتدا با اشاره به وابستگی تنش ها به سطح بیان می دارد که هرگونه سطح یا مرز زمینه مناسبی برای ایجاد و تمرکز تنش روی آن است. [ بر این اساس از دیدگاه اصل بقای اندازه حرکت خطی و دورانی می توان نوشت:

  

 

که S سطح و  Vحجم و  n بردار عمود بر سطح و  Tیک تنسور است. این انتگرال حجمی که قابل تبدیل به انتگرال روی سطح است, در بر گیرنده مفاهیم بسیار مهم فلسفی است که از جمله آن اثبات نظریه انبساط جهان است. این قانون با عنوان تئوری انتگرال گرین- گوس یا دیورژانس نیز شناخته شده است. از سوی دیگر بر اساس قانون استوکس می توان انتگرال روی سطح را به روی مرز گسترش داد.

 

 

این رابطه بیانگر آن است که می توان انتگرال هر کمیتی را از حالت حجمی به سطح و در نهایت روی مرز تبدیل کرد. این موضوع اهمیت مرز خارجی هر پدیده مادی را به خوبی نشان می دهد و در حقیقت در عالم مادی, شخصیت هندسی هر جسم در نحوه و شکل اشغال فضا خلاصه می شود و نکته مهمتر آنکه لازمه ایجاد هرگونه تنش در ماده, وجود سطح و مرز(Boundry) میباشد. از آنجاییکه تنش ها در نهایت باعث متلاشی شدن شخصیت هندسی جسم می گردد این ﺴﺆال مطرح میگردد که سمت و سوی این تلاشی به کدام جهت است و از دیدگاه فلسفی مقصد نهایی این تنشها و تمایل آنها به کدام سو است؟] از دیدگاه دکتر مسعود دهقانی در کتاب ـ جهان در انبساط ـ اگر ذرات مادی به سمت درجات آزادی بالاتر میل کنند و از تراکم حجمی آنها کاسته گردد سطح و مرز گسترش یافته و برای یک مقدار نیروی مشخص تنش ها کاهش می یابند. و در نهایت زمانی که مرز یا سطح به سوی بی نهایت میل می کند تنش ها نیز به صفر خواهند رسید. در اینصورت هم مطابق تعریف تنش و هم بر اساس روابط دیورژنس و استوکس, تنش ها به سمت صفر رفته و حصول این امر به معنای انبساط جهان مادی است. در رابطه مذکور مقدار انتگرال روی مرز یا سطح وابسته بردار n می باشد. در صورت میل کردن سطح یا مرز یک مقدار مشخص جرم m به سمت بینهایت در این صورت سطح یا مرز محو شده و بعبارتی بردار n جای تعریف ندارد . از این رو مقدار تنش ها وابسته به سطح و باندری جسم هستند و به عبارتی تنش های حجمی (Body force)  نیز وابسته به حجم و قابل تبدیل روی مرز نهایی جسم می باشد.

 

 

1.1 نقش تکیه گاهها و درجات آزادی در ایجاد تنش

 

  

 از دیدگاه روابط فیزیکی درجات آزادی برای اجسام مادی هم در سطح مولکولی تعریف می شود و هم در سطح ماکروسکوپیک. [ کاملاً روشن است که یک سازه یا جسم مادی هرچه دارای تکیه گاههای بیشتر در امتدادهای مختلف باشد از درجه آزادی آن کاسته می شود و کاسته شدن از درجات آزادی به مفهوم ایجاد نیروها و تنش های بیشتر در نقاط تکیه گاهی است و از طرفی افزایش نیروها وتنش ها سبب کاهش عمر و دوام سازه ها می گردد. این مفهوم به خوبی نشان می دهد که کاهش درجات آزادی باعث افزایش تنش ها شده در ثانی برای حفظ موقعیت هر جسم یا هر سازه در درجات آزادی کم باید  انرژی زیادی مصرف شود لذا بخوبی پیداست که ماده به سمتی میل می کند که هر چه بیشتر درجات آزادی ذاتی میکروسکوپی و ماکروسکوپی را افزایش دهد و حد نهایی این درجه آزادی با ایجاد تناظر یک به یک بین نقاط فضا و جسم حاصل می گردد و این به معنای انبساط جهان است]. شاید اینگونه تصور شود که نگرش دکتر دهقانی به مبحث مکانیک مصالح, جهت تبیین تئوری انبساط جهان, نحوه رفتار اشیاء را به گونه ای تشریح می نماید که به نوعی با دیدگاههای جاندارانگارانه(animistic)  از طبیعت چیزها مشابهت پیدا می کند . اما باید گفت در اینجا اشیاء و چیزها واجد یک روح درونی نیستند. آنچه سبب ایجاد تنش در سازه ها می گردد نه یک تعیین درونی که سنتز جدال میان ماده(Material) و ابعاد فضا است. بنابراین به وضوح می توان نوعی پس زمینه فلسفی هگلی را در این مبحث مشاهده نمود. در نهایت این نوع نگرش به خوبی از پس توضیح و تبیین سمت و سوی پدیده ها بر می آید. در بحث تکیه گاهها(supports) با بررسی انواع تکیه گاهها نظیر تکیه گاههای غلتکی و میله ای(roller and link supports) , تکیه گاههای مفصلی (pinned supports) , و تکیه گاههای گیر دار و ثابت (fixed supports)  به نتایج مشابهی می رسیم. افزایش تکیه گاهها سبب کاهش درجه آزادی شده و به تبع آن تنش ها نیز افزایش می یابند. و همچنین مطابق با این دیدگاه [ تا زمانی که ذرات بنیادین ماده به بالاترین درجه آزادی نرسند حرکت و جنبش و تنش در جهان مادی وجود خواهد داشت. و فقط زمانی جهان مادی از قید تنش رها خواهد شد که ماده به صورت انرژی در آید. صورتهایی از ماده که متراکم تر هستند مانند جامدات بیشتر تحت اثر اسارت مکان و فضا دچار تنش می شوند و به همین دلیل رو به استهلاک و تحلیل می روند و به صورتهایی از ماده که دارای درجات آزادی بیشتری هستند میل می کنند.] در بخشهای دیگری از کتاب انبساط جهان در توضیح ماهیت تنش آمده است:[اصولاً در اسارت فضا و مکان بودن که از خصلتهای ماده است به معنی تحمل تنش ها و نیروهاست. و این تنش ها ماده را به سمت تسلیم شدن و افزایش کرنش ها و در نهایت افزایش درجات آزادی می کشاند. به همین دلیل صورتهایی از ماده که درجات آزادی و انعطاف پذیری (flexibility) بیشتری دارند دوام و پایداریشان بیشتر است و مرز Boundry)) و شخصیت هندسی آنها دارای بقاء بیشتری است. حفاظت از شخصیت هندسی اجسام و بویژه اجسام جامد توسط کمیتهای فیزیکی مانند مدول الاستیسیته حفاظت از شخصیت هندسی اجسام و بویژه اجسام جامد توسط کمیتهای فیزیکی مانند مدول الاستیسیته (modulus of elasticity) و مدول برشی E وG  و ضریب پواسون υ صورت می گیرد که در صورت غیر ایزوتروپ و غیر همگن بوده اجسام این مدول ها افزایش می یابند و در هر امتداد و جهت, مقدار خاص خود را دارند. در حالت نیروهای دینامیکی ضرایب مادی دیگری مانند ضریب استهلاک اضافه می گردد که برای اجسام مادی با اشکال هندسی مختلف و تحت نیروهای دینامیکی و استاتیکی این ضرایب در قالب ماتریسهای چند بعدی مانند سختی و جرم و ... ارائه می گردند. اما همه این مقاومت های درونی مادی بالضروره و با گذشت زمان و تحت اثر تنش ها و خستگی ها رو به کاهش گذاشته و اجسام با تراکم حجمی بالاتر به سمت انبساط و تلاشی جرمی حرکت می کنند. در بعد سازه ای نیز هرچه انعطاف پذیری و درجات آزادی سازه ها بیشتر باشد دوام و پایداریشان بیشتر است و سطح و مرز و شخصیت هندسی آنها دارای بقای بیشتری است. به هم فشردگی ماده به این علت که تراکم حجمی بالا می رود و درجات آزادی ذرات بنیادین کاهش می یابد به شدت تنش زاست. و لذا این به هم فشردگی به اجبار و به طور طبیعی دارای حد و مرز خواهد بود. در حالیکه در بعد افزایش حجم و کشش در ماده هرگونه افزایش حجم و بزرگ شدن جسم دارای حدود مشخص نیست و به دلیل سازگاری و انطباق این حالت کششی با افزایش درجات آزادی باندری جسم به سرعت گسترش می یابد. به همین علت بسیاری از مصالح در مقابل کشش  (Tensional stress)ضعیف بوده و مقاومت چندان نشان نمی دهند در حالیکه در مقابل فشار(Compressional stress) ایستادگی می کنند.] در ادامه فرسودگی و استهلاک صورتهای مادی بر اساس درجات آزادی و تنشهایی که هر صورت مادی متحمل می شود توجیه می گردد.  بنابراین مشاهده نمودیم که تبیین فلسفی تئوری انبساط جهان با براهین دقیق  ,مستدل و حساب شده چگونه قادر است رفتار مکانیکی مصالح را به خوبی توجیه نماید.

 

 

 1.2  انرژی کرنشی , پایداری سازه و تنش های پس ماند

 

 

 

 

   

 با کاهش تنش ها انرژی واحد حجم نیز به حداقل می رسد. در این صورت پایداری و دوام و ثبات بیشتری برای جسم حاصل خواهد شد. این مطلب دقیقاً  با اصل بقای انرژی(principle of conservation of energy) همخوانی دارد. در محدوده ارتجاعی با جایگزینی رابطه هوک و رابطه خطی تنش و کرنش رابطه وابستگی انرژی واحد حجم به توان دوم تنش بدست می آید. چگالی انرژی کرنش در محور طولی برابر خواهد بود با:

  

 

 

 

و     برای هر سه محور خواهیم داشت:

 

 

 

 

 

لذا   با جایگزینی رابطه هوک داریم:

 

 

 

این رابطه انرژی کرنشی قابل بازیابی یا ذخیره کردن برای یک جزء تحت بار محوری را نشان می دهد. بر اساس این رابطه ضریب فنریت و (modules of resilence) و طاقت مصالح (toughness) که نقش موثری در دوام و پایداری جسم جامد دارند بدست می آید. بحث انرژی کرنشی را همچنین می توان برای خمشهای خالص (pure bending) و تنشهای برشی نیز بیان کرد که همگی پیام فلسفی واحدی دارند.

 

  برای تنش های برشی:

 

 

 

 

 

 

 

 بااستفاده از قانون هوک :

 

 

 

 و در حالت کلی:

 

 

 

بنابراین انرژی ذخیره شده یا قابل بازیابی در اجسام جامد خطی ارتجاعی با توان دوم تنش و عکس مدول الاستیسیته رابطه مستقیم دارد. برای یک مقدار مشخص جرم با کاهش جرم حجمی و انبساط مصالح سطح و مرز جسم افزایش یافته و حتی مقدار سختی جسم در برابر تغییرات شکلE  و G نیز به شدت کاهش می یابد. لذا انبساط جسم برای مقدار مشخص جرم تنش را به شدت کاهش می دهد. این امر به دلیل وابستگی انرژی به توان دوم تنش باعث کاهش شدید سطح تراز انرژی کرنش شده و حالت پایدارتری را ایجاد می نماید. در ادامه این پرسش را طرح می نماید که زایش تنش ها تا کجا ادامه می یابد و مقصد نهایی جهان مادی کجاست؟ . ] زایش تنش ها حداقل تا انبساط کامل و قابل تصور ماده و ایجاد تناظر یک به یک بین ذرات مادی و نقاط فضا ادامه می یابد... هدف, رسیدن به صورتی از ماده در قالب نوعی از انرژی است که صورت اشغال کننده فضا در قالب جامد و مانع نباشد... نزدیکترین تصور به حالت نهایی ماده برای فرار از تنش ها انرژی نورانی است.[ جهان مادی بر اساس ضرورت به سمتی میل میکند که هر حجم اختیاری از فضا منطبق بر حداقل سطح تراز انرژی گردد و یا به سمتی میل می کند تا به حداکثر سطح دوام و ثبات و پایداری با حفظ اصل بقای ماده و انرژی و حذف تنش ها برسد یا بعبارتی ذرات مادی دارای بی نهایت درجه آزادی شوند و این به معنی انبساط جهان است. تبیین تئوری انبساط جهان با قانون نسبیت اینشتین نیز شایسته توجه است. ]از آنجایی که مطابق با قانون  E = mc² پایداری و دوام بیشتر ماده در سطوح تراز انرژی پایین تر اتفاق می افتد هر مقدار از جرم m با توان دوم سرعت نور وابستگی دارد لذا هرچه جرم حجمی کمتر باشد سطح تراز انرژی جرم اختیاری m کمتر بوده و پایدارتر است[ بنابراین می توان گفت معادلهء  E = mc²  نیز ﻤهر ﺘﺄیید دیگری بر تئوری انبساط جهان میکوبد.  

در ادامه اینطور تحلیل می گردد که غایت انبساط ماده صرفاً شکل انرژی نورانی ندارد. و این مساله بدرستی با نتایج آزمایشگاهی و انحراف نور در اطراف میدان گرانشی هماهنگی دارد. بنابراین حد نهایی انبساط جهان فراغت و رهایی کامل از تنش ها خواهد بود.